1998年度の東大後期試験数学第3問(2)は、大学入試としては最も難しい問題だと言われています。問題文が冗長であるので、説明の都合もあり、自明な範囲で以下のように問題を書き換えます。 最初、白丸が1個ある。操作は以下の3つのいずれかを行う。（操作を繰…

「一辺1の正方形領域から3点をランダムに選んだ時に3点を結んでできる三角形の面積の期待値」を初等的な方法で求めました。

ポリアの壺問題 (Polya's urn problem) というのは確率に関する有名問題で、次のようなものです。 壺の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている。ある正の整数kを決めておく。これから次の試行を繰り返す。 壺の中から1個玉を取り出し戻す。その玉が赤玉ならば赤…

少し詳しく化学を勉強した人ならば、立体異性体の話に関連して「メソ体」あるいは「メソ化合物」という言葉は聞いたことがあると思います。 キラル中心（特に不斉炭素）をいくつか持つが、鏡像がそれ自身と異性体にならない分子 というのが普通の定義でしょ…

√2の√2乗は無理数であるか？ それがここ数日ずっと気になっていて考えていたんですが、とりあえず代数学では答えが出ているようです。 wikipedia:ゲルフォント＝シュナイダーの定理 「0、1以外の代数的数」の「有理数ではない代数的数」乗は超越数である。 √…

「無理数の無理数乗が有理数である場合がある」ことを証明せよ。 証明 blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50656206.htmlの証明を少し変更 任意の有理数p(ただし平方数でない)を考える。qを√pの√2乗とする。√pも√2も無理数であるため、qは無理数の無理数…