頂点をランダムに選んだ時の三角形の面積の期待値

「一辺1の正方形領域から3点をランダムに選んだ時に3点を結んでできる三角形の面積の期待値」を初等的な方法で求めました。


調べてみると全く同じ問題を紹介している Square Triangle Picking -- from Wolfram MathWorld というページがあって、答えも載っていましたが、計算の方法に関しては

The solution was first given by Woolhouse (1867). Since attempting to do the integrals by brute force result in intractable integrands, the best approach using computer algebra is to divide the six-dimensional region of integration into subregions using cylindrical algebraic decomposition such that the sign of Delta does not change, do the integral in each region directly, and then combine the results (Trott 1998). Depending on the order in which the integration variables are ordered, between 32 and 4168 regions are obtained.

と書かれていて要は

頑張る

ということらしいので、諦めて自分で考えることにしました。

イメージとしてはこういう感じです。(先ほどのサイトの画像です。)

http://mathworld.wolfram.com/images/gifs/sqtripic.gif

* * * * *

ではさっそく計算していきます。

正方形領域を -1/2 ≦ x ≦ 1/2, -1/2 ≦ y ≦ 1/2 とし、3頂点をそれぞれ A(p,s), B(q,t), C(r,u) とします。三角形 PQR の面積を S(p,q,r,s,t,u) とします。このとき求める期待値 E は

\begin{equation*}
E = \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ S(p,q,r,s,t,u)\ du\ dt\ ds\ dr\ dq\ dp
\end{equation*}

となります。ここで、\begin{equation*}
F(p,q,r) = \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ S(p,q,r,s,t,u)\ du\ dt\ ds
\end{equation*} とすると、

\begin{align}
E &= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ F(p,q,r)\ dr\ dq\ dp \\
&= 3! \times \int_{-1/2}^{1/2}\int_{p}^{1/2}\int_{p}^{r}\ F(p,q,r)\ dq\ dr\ dp
\end{align}

となります。2行目ではまず p ≦ q ≦ r となるように p,q,r を動かして積分値を求めています。p,q,r の大小関係が異なる場合も同じ積分値になるので、最後に 3! 倍しています。これ以降、p ≦ q ≦ r の場合のみを考えます。

\begin{align}
F(p,q,r) &= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ S(p,q,r,s,t,u)\ dt\ du\ ds \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ \frac 1 2 (r-p)\ \left| t - \frac{s(r-q)+u(q-p)}{r-p} \right|\ dt\ du\ ds
\end{align}

2行目がポイントです。どうしてこうなるかは図を描けばすぐに分かるはずです。ここからは単純な計算を行うだけです。

\begin{align}
F(p,q,r) &= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ \frac 1 2 (r-p)\ \left| t - \frac{s(r-q)+u(q-p)}{r-p} \right| \ dt\ du\ ds \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{-1/2}^{1/2}\ \frac 1 2 (r-p) \left(\left(\frac{s(r-q)+u(q-p)}{r-p}\right)^2 + \left(\frac 1 2\right)^2\right) du\ ds \\
&= \frac 1 2 (r-p) \left(\frac{\frac{1}{12} (r-q)^2 + \frac{1}{12} (q-p)^2}{(r-p)^2} + \frac{1}{4}\right)
\end{align}

そして、

\begin{align}
\int_{-1/2}^{1/2}&\int_{p}^{1/2}\int_{p}^{r}\ F(p,q,r)\ dq\ dr\ dp \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{p}^{1/2}\int_{p}^{r}\ \frac 1 2 (r-p) \left(\frac{\frac{1}{12} (r-q)^2 + \frac{1}{12} (q-p)^2}{(r-p)^2} + \frac{1}{4}\right)\ dq\ dr\ dp \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{p}^{1/2}\ \frac 1 2 (r-p) \left(\frac{\frac{1}{36} (r-p)^3 + \frac{1}{36} (r-p)^3}{(r-p)^2} + \frac{r-p}{4}\right)\ dr\ dp \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\int_{p}^{1/2}\ \frac{11}{72}(r-p)^2\ dr\ dp \\
&= \int_{-1/2}^{1/2}\ \frac{11}{216}(\frac 1 2 - p)^3\ dp \\
&= \frac{11}{864} \\
\end{align}

以上より、

\begin{equation*}
E = 3! \times \cfrac{11}{864} = \cfrac{11}{144} = 0.0763888\cdots
\end{equation*}

と分かります。