無理数の無理数乗は必ず無理数か?

 「無理数無理数乗が有理数である場合がある」ことを証明せよ。
証明
 blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50656206.htmlの証明を少し変更
 任意の有理数p(ただし平方数でない)を考える。qを√pの√2乗とする。√pも√2も無理数であるため、qは無理数無理数乗である。
1)qが有理数である時
 qが「無理数無理数乗が有理数である」例となる。
2)qが無理数である時
 rをqの√2乗とする。qも√2も無理数であるのでrは無理数無理数乗である。
 このとき、rは√pの「√2×√2」乗となりrはpとなる。よってrは有理数であるのでrが「無理数無理数乗が有理数である」例となる。

 なかなかきれいな証明だと思います。

 とりあえずp=2である場合を考えましょう。この時、√2の√2乗は有理数でしょうか?無理数でしょうか?
 それは次の記事で書くことにします。